Retas paralelas e concorrentes - exercícios

Aqui estão 6 exercícios de retas paralelas e concorrentes, espero que gostem. Enviem as vossas soluções para rui.explicador@gmail.com.

1.

Determine as projeções das seguintes retas sabendo que:

- A reta a pertence ao β1/3, a sua projeção horizontal faz um angulo de 30º (a.d.) e contem o ponto A com -2 de abcissa e 3 de cota.

- A reta b pertence ao β2/4 e a sua projeção frontal faz um angulo de 45º (a.e.) e é concorrente com a reta a.

- A reta c é paralela à reta b e contem o ponto B (3; 4; 2).

- A reta d é fronto-horizontal concorrente com a reta c no seu ponto do β1/3.

2.

Determine as projeções das seguintes retas sabendo que:

- A reta a contem os pontos A (3; 1; 5) e B (-2; 6; -1).

- A reta b é paralela à reta a e contem o ponto C (0; 0; 0).

- A reta c é horizontal, tem 3 de cota e é concorrente com as retas a e b.

- A reta d é frontal, tem 2 de afastamento e é concorrente com as retas a e b.

Indique a posição relativa das retas c e d (concorrente, paralelas ou enviesadas).

3.

Determine as projeções das seguintes retas sabendo que:

- A reta a contem o ponto A (3; 0; 0), pertence ao plano bissetor dos diedros impares e a sua projeção frontal faz 40º (a.d.).

- A reta b, fronto-horizontal, é concorrente com a reta a e a sua projeção horizontal tem -3 de afastamento.

- A reta c é paralela à reta a e concorrente com b num ponto com -4 de abcissa.

- A reta d é concorrente comas retas a e c nos pontos R e S, respetivamente, ambos com 2 de cota. De que reta se trata.

4.

Determine as projeções das seguintes retas sabendo que:

- A reta a contem o ponto A (3; -3; 1), é paralela ao β1/3 e a sua projeção frontal faz 40º (a.e.).

- A reta b pertence ao plano bissetor dos diedros pares, a sua projeção horizontal faz 60º (a.d.) e é concorrente com a reta a.

- A reta c é frontal, com 3 de afastamento e concorrente com as retas a e b.

- A reta d é concorrente com as retas b e c e pertence ao β1/3.

Indique a posição relativa das retas a e d (concorrente, paralelas ou enviesadas).

5.

Determine as projeções das seguintes retas sabendo que:

- A reta a contem o ponto A (1; 3; -4) e as suas projeções, horizontal e frontal, fazem respetivamente, 35º (a.d.) e 50º (a.d.).

- A reta b é concorrente com a reta a no seu ponto do β1/3 e contem o ponto B (3; -2; -5).

- A reta c é paralela à reta b e concorrente com a no seu ponto do β2/4.

- A reta d é frontal, com 5 de afastamento e concorrente com as retas b e c.

- A reta e é frontal, com -4 de afastamento e concorrente com as retas a e c.

Indique a posição relativa das retas d e e (concorrente, paralelas ou enviesadas).

6.

Determine as projeções das seguintes retas sabendo que:

- A reta a contem os pontos A (3; -1; 3) e B (-2; 2; -6).

- A reta b é paralela à reta a e contem o ponto C (0; 5; 3).

- A reta c pertence ao β2/4 e é concorrente com as retas a e b.

- A reta d é frontal, com 3 de afastamento e é concorrente com as retas a e c.

- A reta e é paralela à reta c e concorrente com a reta d no seu ponto com 7 de cota.

Resolver exercícios...

Muitas vezes os exercícios não são resolvidos, ou são mal resolvidos, não por falta de conhecimentos da matéria, mas devido a más interpretações dos enunciados. Com isto em mente apresento alguns conselhos:

Ao tentar resolver um problema faça um desenho ou esquema relacionado com o problema, verá que isso contribui para uma melhor visualização da situação e pode ajudar imenso a perceber o que se pede e a encontrar uma solução.

Leia o problema uma vez, do início ao fim. Depois, leia novamente o exercício e tente perceber:

• quais os dados do problema;
• o que é pedido para determinar.

Tente explicar o problema pelas suas palavras, o que é dado e o que é pedido no problema. Se não consegue explicar por si próprio ou a outra pessoa o que leu, é bem possível que não tenha percebido a informação dos dados, do que é pedido, ou ambas as coisas! Leia o problema, ou a(s) parte(s) que não percebeu, tantas vezes quantas as necessárias até que se torne perfeitamente claro para si.

Interseções

Há muitos tipos de interseções:

• Interseções entre planos (cujo resultado será uma reta); 
• Interseções entre retas e planos (cujo resultado será um ponto); 
• Interseções entre sólidos;
• Intersecção entre retas ou planos e sólidos;
• Interseção entre retas ou planos e superfícies empenadas;
• Entre outras...

Mas por agora vamos apenas fixar-nos nas duas primeiras (pois são abordadas no ensino secundário).

Interseções entre planos (método geral)

Primeiro vamos explicar porque é que a intersecção entre dois planos é uma reta. Então vamos pegar numa mesa (plano A) e manda-a contra uma parede (plano B) o resultado será um vinco horizontal na parede (podem dizer que se mandarem a mesa de canto apenas vão ter um ponto na parede, mas em geometria os planos são infinitos, e nem a mesa nem a parede o são). Em geometria descritiva esse resultado chama-se reta de intersecção (no mundo real chama-se um rol de problemas por isso nada de mesas contra a parede). Podem experimentar com 2 folhas de cartolina e assumindo que as folhas de cartolina, ou de papel, são infinitas e não são paralelas o resultado será sempre uma reta, a reta de interseção.

Posto isto, podemos dizer que as interseções entre planos se dividem em 3 subcategorias (poderiam ser outras, mas estas são as minhas):

• Quando os traços dos planos se cruzam, vamos chamar-lhe o método geral
• Quando os traços dos planos não se cruzam (ou cruzam-se mas fora do papel)
• Quando um ou ambos os planos estão definidos por retas

O método geral diz-nos que na interseção dos traços horizontais dos planos vamos ter o traço horizontal da reta de interceção, e que na intersecção dos traços frontais dos planos vamos ter o traço frontal da reta de interseção.

Com a obtenção destes dois traços está definida a nossa reta.

Podemos resumir do seguinte modo:

(não esquecer que H2 e F1 estão sempre no eixo do x)

 fácil não é?

Interseções entre planos (método geral) - exemplo

Então este exercício como exemplo, já temos os traços dos planos marcados vamos começar: 

Encontramos os traços da reta de interseção

Encontramos as projeções da reta. 

Acabou, fácil não é? 

New look and facebook (novo visual e facebook)

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Erros de palmatória

Foi-me enviado este texto, que julgo pertinente para a temática do novo acordo ortográfico, pois expressa a ideia de muitos portugueses:

"Eu sei que foi no século passado, que frequentei a instrução primária, e, acreditem, não foi assim há tanto tempo. Por isso, recordo sem saudade, o que passei para aprender a escrever "correctamente a língua - essa nossa Pátria", caso contrário, malhavam-me umas reguadas, sem qualquer explicação morfológica,que até eram aviadas com uma palmatória - a menina dos cinco olhos - mais famosa que a Tina Turner à bolachada com o Ike. Dos alunos que errassem na "redacção", o regente da sala "actuava", desses fazia uma "selecção", e mandava-nos a todos para o quadro preto ou virados para a parede e em pé, à espera do "complemento directo", que seria aplicado consoante o número de erros dados, e que nos punha as mãos a arder. Levei por causa desse método inquisitorial e por tão más "acções" que violavam o "acordo ortográfico" em vigor, porrada velha, e dela só me livrei, quando passei a escrever como era imposto, pelos "malacas" daquele tempo. Passados alguns anos, constato hoje, que quem estava certo era eu mais os colegas da pancada injusta, e demasiado avançado para a época. Por via dessa "colecção" de erros ortográficos, fui avaliado e classificado, nunca atingindo o mérito que hoje atingiria, à luz do "novo acordo ortográfico". A repressão de que fomos vítimas no velho ensino, pergunto, justificou-se? Justifica-se hoje, obrigarem os alunos da escola "actual", a escrever afinal, como eu escrevia no "século passado", pelos vistos, "erradamente"? E da violência a que fui submetido por desrespeito à língua, quem é que repara o abuso, ou "indemniza" por danos na auto-estima e no insucesso para que hoje não seja doutor, com assento no parlamento, se eu apenas demonstrei por "A mais b, c, p" e demais trapalhada, que era um miúdo precoce e adivinhava que o acordo deste século, não demoraria muito a ser aprovado, e que os erros de ontem são os acertos de "oje"? Que penalização pode sofrer um aluno no "ativo", "qe" escreva agora,"omem", “umanidade” “umicídio” “tranqilo" “traqina”, "qerela”, qestionário" "ortaliça", "inqérito" "qebrado", " com a lógica idêntica de "direto", “correto” “ótimo” “ótica”, e por aí fora, se ele já está a escrever precocemente e segundo o acordo "qe àde" entrar em vigor em 2050" (!), assim que apareça outro "colégio de malacasteleiros" sem terem nada mais para fazer? Quem afinal anda a "brincar" com a língua portuguesa, património universal de um povo todo?"

                                            

Joaquim A. Moura – Penafiel

 “o autor escreve de acordo com a antiga ortografia, até que a morte os separe”