Resolução de um sistema

Por vezes, para a resolução de um problema com 2 ou mais incógnitas, é necessário a resolução de 2 ou mais equações. Estes sistemas poderiam ser resolvidos utilizando o método de Cramer (álgebra linear), mas isto vamos deixar para outra altura. Agora vamos resolver um sistema pelo método da substituição.

Dado o seguinte sistema:

x+6=2y

3x+4+6y=10


1.º passo: Escolhemos uma equação e uma incógnita e resolver essa equação em ordem a essa incógnita, a nossa escolha deve fornecer a equação mais simples possível, então neste caso vamos resolver a equação de cima em ordem a x e a de baixo a y.

x=2y-6

6y=10-3x-4 <=> 6y=6-3x  <=> y=1-1/2x

(se tiver dúvidas na resolução de equações consulte este post)


2.º passo: Substituímos na outra equação a incógnita pela expressão que ela representa. Neste caso vamos pegar na equação mais simples, que me parece a primeira, e trocar na segunda equação o x pela expressão correspondente (2y-4)

x=2y-6

y=1-1/2(2y-6)


3.º passo: Resolvemos a equação que só tem uma incógnita e mantemos a outra equação.

x=2y-6

y=1-1/2(2y-6)  <=>  y=1-y+3  <=> 2y=4 <=> y=2


4.º passo: Obtido o valor de uma incógnita (y=2) substituímos esse valor na outra equação e determinamos o valor da outra incógnita.

x=2y-6  <=>  x=2(2)-6  <=> x=4-6  <=> x=-2

y=2


5.º passo: Apresentamos a solução e verificamos se serve o enunciado do problema.

x=-2

y=2

(-2)+6=4 e 2x2=4  <=>  4=4 Verifica

3(-2)+4+6(2)=-6+4+12=10  <=>  10=10 Verifica

Neste caso o sistema é possível e determinado.



Classificação de sistemas

Um sistema é possível e determinado quando só tem uma solução.

Se o sistema tem uma equação impossível é impossível.

Se o sistema tem uma equação indeterminada e a outra possível, o sistema é possível indeterminado.


Alguns exercícios

x+2y=5

3y+x/2=3



6y+10=3x+4

10x=2y-5



x/3=2y-4/3

4x-1/2+3y=1/2y-1/3



Numa festa havia 40 pessoas. Quando 7 homens saíram, o número de mulheres passou a ser o dobro do número de homens. Quantas mulheres estavam na festa?