Determine as projecções da recta de intersecção, i, do plano oblíquo π com o plano passante θ.
Dados:
– o plano π intersecta o eixo x no ponto com 5 de abcissa;
– os traços horizontal e frontal do plano π fazem, respectivamente, ângulos de 50º e de 30º, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;
– o plano θ é definido pelo eixo x e pelo ponto P (0; 3; 6).
Resolução:
Neste exercício a marcação dos dados é directa.
Resolveu-se o exercício do seguinte modo:
1) Passou-se uma recta de perfil (a) que pertencesse ao plano oblíquo;
2) Achou-se a terceira projecção da recta a e o traço do plano passante;
3) Usando a 3.ª projecção achou-se a intersecção entre a recta a e o plano passante (ponto I);
4) Passou-se a recta de intersecção (i) contendo o ponto I e os pontos F’ e H’, pois estes pontos são pontos que pertencem a ambos os planos
Nota: qualquer outra recta poderia ser usada para achar um ponto que pertencesse a ambos os planos, por isso o método de resolução pode variar. O resultado em si (as projecções da recta i) é que não deve ser diferente do apresentado.
2.ª Questão:
Determine, graficamente, a verdadeira grandeza da distância entre dois planos paralelos, α e β.
Dados:
– o traço frontal do plano α intersecta o eixo x no ponto com –10 de abcissa e faz um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com esse mesmo eixo;
– o plano β contém os pontos M (6; 2; 3) e N (10; 7; –3).
Resolução:
Neste exercício optou-se pela marcação dos traços de ambos os plano, pois, não sendo necessário para a resolução do exercício, pensa-se que facilita a execução do exercício por parte dos alunos.
Procedeu-se à marcação dos dados do exercício, mas a marcação dos traços de ambos os planos poderá ser mais complicada, mas neste caso procedeu-se do seguinte modo:
1) Passou-se uma recta que contenha os pontos M e N (recta b do plano β);
2) Passou-se uma paralela à recta b (recta a) a pertencer ao plano α;
3) Achou-se os traços da recta a e marcou-se os traços do plano α;
4) Achou-se os traços da recta b (neste caso apenas o traço horizontal) e marcou-se os traços do plano β paralelos aos traços do plano α.
Para encontrar a distância entre estes dois planos usou-se o método geral:
1) Passar uma recta perpendicular a ambos os plano (recta r);
2) Passar um plano projectante pela recta (plano de topo π);
3) Intersectar os planos α e β com o plano π (vamos obter 2 rectas i, paralelas entre si);
4) Quando estas rectas i intersectam a recta r obtemos 2 pontos I;
5) Rebater ambos os pontos I (neste caso usando o plano de topo) para se obter a verdadeira grandeza.
3.ª Questão:
Represente, pelas suas projecções, uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1.º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Dados:
– a base [ABCD] está contida no plano oblíquo δ, que cruza o eixo x no ponto com 3 de abcissa;
– os traços, horizontal e frontal, do plano δ fazem, respectivamente, ângulos de 40º e 50º, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;
– as diagonais da base medem 10 cm;
– o ponto A (1; 8) e o ponto C, que pertence ao traço horizontal do plano δ, definem a diagonal [AC];
– a pirâmide tem 12 cm de altura.
Resolução:
Este exercício, é possivelmente, o mais longo do exame, mas não necessariamente o mais difícil.
1) Marcou-se os dados do plano oblíquo (que contem a base da pirâmide);
2) Marcou-se o ponto A com o auxílio de uma recta horizontal (recta a);
3) Rebateu-se o plano oblíquo usando esta recta de nível;
4) Rebateu.se o traço frontal da recta a (a charneira do rebatimento é o traço horizontal do plano) e com ele o traço frontal do plano;
5) O ponto C é marcado no traço horizontal rebatido do plano distando 10 cm do ponto A rebatido.
6) Marcou-se o quadrado e contra-rebateu-se usando o método das rectas horizontais.
Agora a altura da pirâmide:
1) Pelo centro da figura (ponto Q) passou-se uma recta perpendicular aos traços do plano (recta e);
2) Passou-se um plano projectante pela recta e (neste caso um plano vertical);
3) Rebateu-se o plano vertical, a recta e e o ponto Q;
4) Marcou-se os 12 cm de altura na recta e rebatida (obtemos o V rebatido);
5) Contra-rebatemos o ponto V.
Marcamos, finalmente, o sólido.
4.ª Questão:
Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados:
Sistema axonometrico:
– dimetria:
a projecção axonométrica do eixo y faz 130º com a dos eixos x e z.
Nota: Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.
Prisma quadrangular regular:
– a base [RSTU] é paralela ao plano coordenado horizontal xy;
– os pontos R (7; 9; 8) e S (7; 5; 8) definem uma aresta comum a essa base e à face de maior abcissa;
– a outra base está contida no plano coordenado horizontal xy.
Prisma hexagonal regular:
– as bases são paralelas ao plano coordenado frontal zx;
– o quadrado [RSTU] representa a face de menor cota deste prisma.
Resolução:
O mais complicado deste exercício seria conceber o sólido, mas assim que percebemos que o sólido é composto por um prisma quadrangular assente no xy com 8 cm de altura, que serve de base a um prisma hexagonal de bases paralelas ao plano xz, torna-se acessível.
Para rebater os planos axonometrico utilizou-se o método geral (já apresentado aqui)
1) marcação dos eixos e do triângulo fundamental;
2) fazer uma paralela a um lado do triangulo fundamental;
3) marcar os pontos X’r e Y’r;
4) dividir o segmento X’r Y’r ao meio;
5) fazer um semi-circulo (para o lado do “O”);
6) prolongar o eixo que não estamos a rebater para marcar o “Or”;
7) fazer os eixos axonométricos rebatidos.
Marcar os dados do exercício, tanto no plano xy como no xz e traçar a figura, fazendo palarelas ao z (no caso do plano xy) e paralelas ao y (no caso do plano xz).
FIM
As soluções propostas foram no intuito de compreendidas pelo maior número de alunos possível. Mas nem sempre é fácil, pois os que uns consideram mais claro, outros não o consideram. Não se esqueçam que há múltiplas soluções para cada exercício, logo se o vosso exercício estiver diferente das soluções apresentadas não desesperem.
Espero que os exames tenham corrido bem e boa sorte a todos.
