Resolução de equações de 1.º grau

Muitas vezes um dos problemas com que nos deparamos envolve a resolução de uma expressão matemática onde não conhecemos um dos termos, neste caso poderemos estar perante uma equação, equação essa que é uma igualdade entre duas expressões onde, pelo menos numa delas, figura uma ou mais incógnitas (muitas vezes definidas por letras).

Nomenclatura
Na equação,

3x-15+2x=-3-x

temos como primeiro membro 3x-15+2x e temos como segundo membro -3-x

Termos: 3 x (que é igual a 3 vezes x ); -15; 2 x; -3; - x
Incógnita: x
Termos com incógnita: 3 x; 2 x; - x
Termos independentes: -15; -3

Solução
É o número que colocado no lugar da incógnita transforma a equação numa igualdade numérica verdadeira.

x+4=10 a solução é 6 pois 6+4=10

Resolver uma equação é determinar a sua solução, vamos agora tentar resolver a nossa equação inicial.

3x-15+2x=-3-x

1.º passo: mudar os termos de um membro para o outro (desde que troquemos o sinal), de modo que os termos com incógnita fiquem todos no mesmo membro e que os termos independentes fiquem todos no outro membro.

3x+2x+x=-3+15

2.º passo: efectuar as operações. Lembrando que no membro com os termos com incógnita, e porque a incógnita é só uma, colocamos a incógnita em evidência e somamos os coeficientes.

x (3+2+1)=12

6 x=12

6/6 x =12/6

3.º passo: dividir ambos os membros pelo coeficiente da incógnita (neste caso 6) e apresentar a solução.

x=2

Resolver expressões com parênteses
Quando existe um sinal positivo (+) antes dos parênteses eliminamos simplesmente os parênteses, mas se houver um sinal negativo (-) antes dos parênteses, eliminamos os parênteses e trocamos todos os sinais (de + e -) assim:

3+5x+(2x-7-3x+6) = 3+5x+2x-7-3x+6

3+5x-(2x-7-3x+6) = 3+5x-2x+7+3x-6

Quando existe algo a multiplicar pelos parênteses, aplica-se a propriedade distributiva da multiplicação, tira-se os parênteses e multiplica-se o que estava a multiplicar pelos parênteses por cada um dos membros:

-3(2x-7-3x+6) = -6x+21+9x-18


Resolver uma equação com parênteses, implica primeiro remover os parênteses e só depois aplicar os passos antes referidos, e a título de exemplo resolvemos a seguinte equação:

-2(-x+6)+3(3x-3)=-8-(3x+6)

Remover os parênteses

2x-12+9x-9=-8-3x-6

Agrupar os termos com incógnita

2x+9x+3x=-8-6+12+9

Efectuar operações

x(2+9+3)=7

14x=7

Dividir ambos os membros pelo coeficiente da incógnita

x=7/14

Determinar a solução de forma simplificada

x=1/2

Alguns exercícios

10-9x+2 x=2-3x

5 x-4=-3(2x+5)

9x-5(1+x)=3(2x-2)-20

-2( x+3)-(4x+14)=4(-3x+2)-4

Tolerância dimensional e geométrica

Em desenho técnico, mais propriamente no desenho técnico mecânico, as peças desenhadas são muito pequenas, ou têm pouca margem de erro, e têm que ser intercambiáveis entre peças semelhantes, por exemplo: Um parafuso de 20 mm tem que ser semelhante a outro parafuso de 20 mm e ambos os parafusos têm que roscar numa porca de 20 mm.

É muito difícil executar peças com medidas rigorosamente exactas, pois todo o processo de fabrico está sujeito a imprecisões, pequenas variações em relação às cotas indicas. De notar que quanto menores tiverem de ser essas variações, mais dispendioso será o processo de fabrico.

O que é certo é que as medidas das peças podem variar, dentro de certos limites, sem que isso prejudique a qualidade do produto. A esses pequenos desvios intitulamos de tolerância dimensional.

Mas a tolerância dimensional só por si não garante um funcionamento adequado. Por vezes é necessário que as peças estejam dentro da forma prevista, sempre com alguma variação, de modo a poderem serem montadas como espectável. Então um factor em ter em conta será as variações aceitáveis na forma e a posição relativa dos elementos da peça, a essas variações intitulamos de tolerância geométrica. Exemplo do desenho de uma peça com as respectivas tolerâncias.

Exercícios pré-exame

Já estão abertas as inscrições para os exames e o exame de geometria descritiva é já no dia 23 de Junho. Mais informações estão disponíveis no site do GAVE.

Mas enquanto os exames não chegam aqui vão alguns exercícios para vos entreter. Tentem resolve-los sem consulta, e dentro dos 150 minutos (2 horas e meia), mesmo se não forem meus alunos poderam enviar as vossa resolução pois terei todo o gosto em corrigi-la e anota-la. Se forem meus alunos não têm hipotese. Ou já fizeram ou irão fazer.

Nesta altura do ano, é possível que já tenham dado nas vossas aulas mais que esta matéria, mas será que sabemos bem a matéria aqui apresentada? Vamos ver, pois não se esqueçam que esta matéria compõe pouco mais de metade do exame.


Problema 1
Determine as projecções e a verdadeira grandeza da distância de um ponto P (-3; 3; 4) à recta de perfil s, sabendo que a recta s contém um ponto no eixo x com 2 de abcissa e contém o ponto A com -2 de cota e 5 de afastamento.

Problema 2
Desenha as projecções de uma recta a ortogonal à recta b, sabendo que:
- A recta a é paralela ao β2/4, contém o ponto A (0; 5; 1) e a sua projecção frontal faz um ângulo de 40º (a.e.) com o eixo x;
- A recta b é concorrente com a recta a no ponto A e a sua projecção frontal faz um ângulo de 55º (a.d.) com o eixo x.

Problema 3
Determine graficamente a amplitude do diedro formado pelos planos π e α.
Dados:
- O plano π é passante e contém o ponto P (0; 4; 2);
- O plano α é definido pelos pontos A (-1; 6; 4), B (-4; 2; 4) e C (-7; 2; 1).
Resolva o exercício sem determinar os traços do plano α.

Problema 4
Desenhe as projecções de um cubo situado no 1.º diedro, sabendo que:
- A face [ABCD] está contida num plano oblíquo;
- Os pontos A (0; 2; 4) e C (3; 5; 1) definem uma diagonal da face [ABCD];
- a diagonal [AC] está contida numa recta de maior inclinação do plano.

(Resolução em breve)

Workshop de Introdução à Arquitectura «O Pensamento da Mão» - 2.ª Edição

Este workshop destinado a um público generalizado com algum interesse pela área da arquitectura pretende introduzir nos participantes alguns dos conceitos e elementos da composição arquitectónica. Pretende-se desenvolver, além de um crescente gosto pela área da arquitectura, noções básicas de composição, proporção e harmonia.
Os participantes serão levados a explorar criativamente alguns dos conceitos arquitectónicos aqui apreendidos e, através de experimentações, apresentar uma pequena proposta em forma de modelo tridimensional (maqueta).


Duração: 7 horas
Calendarização: 8 e 9 de Maio (sábado e domingo) de 2010
Horário: Das 14h30 às 18h00
Local: Museu do Trabalho Michel Giacometti, Setúbal
Público-alvo: Público geral
Orientador: Rui Pereira
Preço: 30€

Para mais informações e realização de inscrições:
elucidarte@gmail.com
96 722 82 97
96 00 02 422

Alfabeto Grego

Para os alunos de Geometria Descritiva (e não só) apresento o seguinte quadro com a indicação do alfabeto grego, alfabeto esse utilizado (em Geometria Descritiva) quando da representação dos traços dos planos.

Os traços dos planos indicam-se com um 'h', 'f' ou 'p' minúsculos e uma qualquer letra grega, também minúscula.



Não sendo possível (nem necessário) decorar todo o alfabeto grego, apenas memorizem 4 a 5 letras minúsculas gregas para usar nos exercícios.

Novos professores, novas disciplinas

Em breve novos professores irão juntar-se a nós. Isso quer dizer que mais disciplinas estarão disponíveis para os interessados nas nossas explicações.

No intuito de melhorar a nossa oferta lectiva e atrair melhores profissionais houve necessidade de retocar os nossos preços. Mas também as nossas promoções.

Mais novidades em breve.